George Boole desarrollo en el siglo XIX el álgebra para investigar las leyes que rigen los razonamientos de la mente humana.

Sin pretender que hasta ochenta años después  un ingeniero eléctrico aplico estas leyes matemáticas a la resolución de circuitos electrónicos y como consecuencia al desarrollo de la industria.

Algebra convencional opera con relaciones cuantitativas (de cantidad) en el que se usan variables X,Y,Z que pueden tomar infinitos valores.

Algebra de Boole opera con relaciones lógicas usando variables binarias 0 y 1 (estados, no cuantitativos), verdadero y falso, ON y Off, High y Low.

0 y 1 no son cantidades son estados usa el sistema binario.

señal analógica vs digital
señal analógica vs digital

Una señal analógica puede tomar infinitos valores dentro de un rango sin embargo una señal analógica puede tomar solo dos valores.

El objetivo del algebra de Boole aplicada a la electrónica es reducir a su mínima expresión una función para determinar una decisión de forma automática.

Solo usa dos relaciones lógicas

+ conjunción o, OR

 . conjunción y, AND

Ejemplo de función lógica o booleana:

S=a.b + b.c

S será verdadera si a y b son verdaderas o b y c son verdaderas.

Para comprobar la relación matemática del algebra de Boole con los circuitos eléctricos-electrónicos veamos el siguiente montaje.

función booleana vs circuito eléctrico
función booleana vs circuito eléctrico

b es el mismo interruptor en ambas ramas si actúo sobre b actúa a la vez en ambas.

La lámpara S se encenderá cuando a y b sean 1 estén cerrados o cuando c y b sean 1 estén cerrados.

Tabla de la verdad de una función lógica:

En la tabla de la verdad se ponen las variables lógicas (interruptores,entradas) y la función o salida. Se representan todas las posibles combinaciones dado que al ser números binarios este sistema usa la base 2 con lo que el número total de combinaciones en 2n siendo n el número de variables en este caso 23=8 combinaciones posibles.

La primera columna los ceros y los 1 varian de 1 en 1 posición en la segunda columna de 2 en 2 en la tercera de 4 en 4 y así sucesivamente si tuviéramos más variables.

 En la columna de la S anotamos para que combinaciones de las variables es cierta la función (salida) en este caso

S=a.b+c.b

tabla de la verdad
tabla de la verdad

La función O,OR,+,función unión, equivale a un circuito paralelo se debe cumplir una premisa o la otra para que sea cierto

La función Y,AND,.,función intersección equivale a un circuito serie se debe cumplir una y otra premisa para que sea cierto.

Otras funciones importantes son:

Negación

tabla verdad negación
tabla verdad negación

Y negada NAND

tabla verdad nand
tabla verdad nand
tabla verdad NOR
tabla verdad NOR
tabla de la verdad XOR
tabla de la verdad XOR

Álgebra de boole – Postulados con su circuito equivalente

álgebra de boole postulados
álgebra de boole postulados

Otros postulados:

Si se invierten los dos miembros de una igualdad, esta no sufre ninguna variación

otros postulados álgebra de boole
otros postulados álgebra de boole
propiedades álgebra de boole
propiedades álgebra de boole
teoremas álgebra boole
teoremas álgebra boole

Forma canónica de una función booleana:

Es toda suma de productos o productos de sumas en las que aparecen todas las variables en cada uno de los términos.

Minterms - maxterms
Minterms – maxterms

Obtener la función lógica a partir de la tabla de la verdad

Normalmente lo que se hace para diseñar un circuito es arrancar de la tabla de la verdad, es decidir para que combinaciones de las variables de entrada queremos que se active la salida o salidas a partir de hay extraemos la función lógica e implementamos el circuito en posteriores post veremos que en lugar de interruptores usaremos puertas lógicas que es lo que realmente se usa en los diseños de electrónica digital.

Veamos un ejemplo:

Imponemos que la lámpara se encenderá cuando dos interruptores o sensores no contiguos estén a uno o cuando a y c sean cero.

Cuando el valor de la variable es cero se pone negada

circuito equivalente
circuito equivalente

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